2012年11月12日 09時56分

高校数学Aの背理法証明と直接証明の比較

「√2 が無理数」の直接証明１： 「自然数　a,b につき、 (1) aa と 2bb の素因数の個数は偶数と奇数で異なる(：正しい) から (2) aa≠2bb (が導かれる：正しい)、 よって (3) √2≠a/b (が導かれる：正しい)。」 　ここの主張は、仮定の下、(1)が数学的に正しいので、それから(論理規則の)推論により導かれている(2)(3)もすべて数学的に正しく、吟味すれば理解可能です。このように、直接証明では、「導かれる=正しい」となっています。 「√2 が無理数」の背理法証明： (5) 「√2 が有理数 (背理法の仮定：正しくない) と仮定すると、 (6) 1 以外に公約数をもたない 自然数 a,b につき、 (8) √2=a/b と表される(ことが導かれる：正しくない)。 これより √2b=a (ことが導かれる：正しくない) 両辺を２乗すると (9) 2b^2=a^2 (ことが導かれる：正しくない) 　　・・・・・・ 以上のことから、 (10) a,b はともに偶数となり(ことが導かれる：正しくない)、 (11) a,b は 2 を公約数としてもつ(ことが導かれる：正しくない) よって、 (12)　(11)かつ(6)は矛盾である(ことが導かれる：正しくない) したがって、 (13) √2 が有理数ではない(背理法の原理により：正しい)。 すなわち、 (14) √2 は無理数である(ことが導かれる：正しい)。」 　この証明内の中間結果の正しさを、直接証明の正しい中間結果と比較すれば、 (3)(2)が正しいので、(8)(9)は正しくない。(12)は論理的に正しくない。 　更に、(12)以前の他の中間結果も「正しくない仮定から推論により導かれた」だけで、「数学的内容は正しくない」ことが解ります。つまり、直接証明の場合と異なり、背理法の証明の中で背理法の仮定から矛盾までの中間結果は、一般に「導かれる≠正しい」ので、本来は単に「(推論により)導かれる」という構文論的意味しかありません。正しくない主張は誰も(著者や教える側も)理解納得(これは意味論)できません。 　なお、背理法証明中の 「(9)がでたところで、(1)に気付けば(2)で矛盾がでて(13)に飛べます。」 これで、背理法の証明は((6)も使わずに)半分以下ですみます。 つまり、 「教科書に載っている背理法は、背理法の中でも大分効率が悪い」 と思えます。 　更に極端な話ですが、 「直接証明を知っていれば、背理法の仮定(5)のあと、 『一方』と書き、直接証明で(3)を導けば、(8)と矛盾するので(13)に飛べます。」 これで、背理法の証明は((6)も使わずに)更に簡潔になります。 このように、直接証明はいつでも、簡単に背理法証明に使えます。 かといって、直接証明ができる当たり前の事実にわざわざ難解な 背理法をもちいるのも？ 　逆に、どんな定理でも証明が与えられれば、(効率の悪い)背理法で良いならば、いくらでも長くして「Abe=Obama」 を導き矛盾という(独創的？)な別証を創れます。 こういう答案の採点は勘弁してほしいものです。 　また、直接証明１は、素因数分解の情報のうち、「素因数の個数」しか使っていませんが、それでも 2 の替わりに素数でも通用します。更に、素因数分解をフルに使えば、任意の自然数 c に関して、「√ｃ が無理数」であるための必要十分条件「c が平方数でない」も得られます。更に、自然数の正累乗根の無理数性についても一般化が得られます。すべて、簡単な非背理法の証明が可能です。